ประพจน์
| บทนิยาม | ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง | ||
| ตัวอย่างเช่น | |||
| • เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้ | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ | ||
| • ใครทำจานแตก | → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ | ||
| • -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก | → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง | ||
| นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ | |||
| กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.
|
ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| การ เชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.
|
ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| การ เชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.
|
ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| การ เชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.
|
ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| การ เชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.
|
นิเสธของประพจน์ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย | ||
| ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ | ||
| p ∨ ~q | [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q | |
| ~(p ∧ ~q) | [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p | |
| (p ∧ q) → p | (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) | |
| (p ∧ q) → q | (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) | |
| p → (p ∨ q) | (p → q) ⇔ (~p ∨ q) | |
| q → (p ∨ q) | (p → q) ⇔ (~q → ~p) | |
| [ p ∧ ( p → q)] → q | (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p) | |
| [ ~p ∧ ( p → q)] → ~q | ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] | |
| ข้อสังเกต | ประพจน์ ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์ | |
 |
||
| พิสูจน์ | ||
 |
||
 |
||
ที่มา:http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/logi_tau.html
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น