ระบบจำนวนจริง

• ระบบจำนวนจริง
จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า  ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียน ให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
เขียนแทนด้วย 0.5000... เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียน ให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของ จำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่           I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่          I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซต ของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่                            N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x2 = -1 ∴ x = √-1 = i x2 = -2 ∴ x = √-2 = √2 i x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และ เรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ   " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)
• สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง      กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ      1. สมบัติการสะท้อน a = a      2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a      3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c      4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c      5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc      • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง      กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ     1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง     2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c     4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0     นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก     5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a     นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก • สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ      1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง      2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba      3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c      4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1     นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ     5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0     นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0      6. สมบัติการแจกแจง                a( b + c ) = ab + ac                ( b + c )a = ba + ca      จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a · 0 = 0 0 · a = 0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab       เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น • การลบจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ a- b = a + (-b) นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b ที่มา:http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real2.html